Đạo hàm của tích phân

Công thức đạo hàm cung cấp 2:y"" = f""(x) = dydx" = d2ydx2

Nguyên hàm

Từ f(x) trường hợp ta kiếm được hàm số F(x) thế nào cho F’(x) = f(x) thì F(x) được call là nguyên hàm của hàm số f(x).

Có rất nhiều hàm số F(x) bởi vậy vì đạo hàm của hằng số bằng 0, cho nên họ những nguyên hàm của f(x) sẽ có được dạng là F(x) = biểu thức nhờ vào vào x + hằng số C

Ví dụf(x) =  x2thìF(x) = x33 + C

Chữ vi (tiếng hán微)nghĩa là bé dại (như vi khuẩn, vi sinh vật, tinh vi).

Chữ phân (tiếng hán分, cũng hiểu là phần)nghĩa là từng phần (như phân nửa, phân chia, phân phát).

Vi phân tức thị từng phần cực kỳ nhỏ, vận dụng vào hàm số là lúc chia một hàm số ra từng phần hết sức nhỏ.

Vi phân là hiệu quý giá của hàm số y tại từng đoạn nhỏdx = ∆x = x1 - x0, lấy ví dụ x chạy một đoạn rất bé dại từ x0 cho tới x1 thì vi phân (đoạn nhỏ tuổi của y) cũng chính là giá trị đổi thay thiên tức thì f’(x) nhân với khoảng tham số vươn lên là thiên (hiểu đơn giản dễ dàng nó chính là quãng đường chuyển đổi tức thời = tốc độ biến thiên lập tức x thời hạn tức thời trong khoảng biến thiên đó).

Vi phân của hàm số y = f(x) ký kết hiệu là dy tuyệt df(x)

Công thức vi phân: dy = df(x) = f(x1) - f(x0) = f’(x)dx = y’dx

Như vậy xét về mặt công thức thì vi phân của hàm trên x0 = đạo hàm của hàm trên x0 nhân với sự đổi khác rất nhỏ tuổi của x gần cạnh với x0 (là dx).

Nhưng quan tâm mặt ý nghĩa thì đạo hàm và vi phân không tồn tại quan hệ gì với nhau hết. Đạo hàm phụ thuộc tỉ số dy/dx nhằm ám chỉ sự chuyển đổi tức thì, còn vi phân phụ thuộc vào y’dx để mang từng phần rất nhỏ tuổi trên hàm số y = f(x).

Chữ tích (tiếng hán積)nghĩa là ông chồng chất, chất đống lên nhau (như tích góp, tích lũy).

Chữ phân (tiếng hán分)đã nói nghỉ ngơi trên.

=> Tích phân là tổng của khá nhiều phần nhỏ.

Và từng phần nhỏ dại này là tích của dx cùng f(x).

Đến đây ta hoàn toàn có thể nhận ra tích phân với vi phân mang ý nghĩa sâu sắc trái ngược nhau, một thằng là tính tổng những phần bé dại còn một thằng là tách bóc thành những phần nhỏ. Nó chỉ ngược nhau về mặt chân thành và ý nghĩa chứ không hẳn ngược nhau về văn bản công thức, vì phương pháp của vi phân là f’(x)dx còn của tích phân là tổng của các phần nhỏ f(x)dx.

Vì có phương pháp tính như vậy đề nghị tích phân xác định lúc x chạy từ bỏ a cho tới b cũng đó là diện tích của hình tạo vị đồ thị hàm số f(x) và các đường thẳng x = a, x = b (Chứng minh cho điều đó thì các bạn xem lại sách giải tích).

Công thức tích phân:∫abf(x)dxTa sẽ để cập tới được quan hệ của đạo hàm và vi phân, của vi phân cùng tích phân rồi, gắng còn quan hệ của đạo hàm cùng tích phân là gì?

Nhìn vào cách làm và về mặt chân thành và ý nghĩa rõ ràng ta ko thấy có mối quan hệ nào giữa đạo hàm cùng tích phân, nhưng từ đạo hàm ta lại có thể tính được tích phân, đó đó là nội dung của phương pháp Newton-Leibniz:

Giả sử mong mỏi tính tích phân của hàm số f(x) lúc x chạy từ a tới bthì:

Công thức Newton-Leibniz: S =∫abf(x)dx = g(b) - g(a) cùng với g(x) là nguyên hàm của f(x)

Vậy để tính tích phân xác địnhcủa một hàm số, nếu như ta khẳng định được nguyên hàm của nó (nguyên hàm là thứ ngược lại của đạo hàm => mối quan hệ của đạo hàm và tích phân chính là thông qua nguyên hàm) thì ta sẽ dễ ợt tính được ngay.

Ta đúc kết được mối quan hệ của đạo hàm, tích phân và vi phân như sau: